सम्मुचय समूह

हमारा यह प्रयास है कि इस पेज के माध्यम से बस्तर जिले में संचालित विभिन्न बोर्ड के नोट्स उपलब्ध कराना जिन्हें आप घर बैठे इस कोरोना माहामारी काल में प्राप्त कर सकते है। आपसे निवेदन है कि किसी भी विषय के नोट्स की आपको आवश्यकता है तो हमें बताएं  हम उन्हें अनुभवी शिक्षकों से प्राप्त कर आप तक पहुँचाएंगें । 

प्रस्तुत नोट्स कक्षा ग्यारवीं (सीजी बोर्ड हिन्दी माध्यम) के गणित विषय का है जिसे शासकीय बालक उच्चतर माध्यमिक शाला बस्तर (Government Boys Higher Secondary Bastar)  में पदस्थ गणित व्याख्याता श्रीमति टी.रूचिका   ने तैयार किया है। 

 

सम्मुचय समूह

सम्मुचय का प्रयोग

-संबंध  एवं फलन

प्रायिकता  ज्यामितीय अनुक्रम आदि

उदाहरण -

cricket team ={ सचिन ,राहुल , कोहली }

class १० के बच्चे ={किसले, लोकेश्वर,  झंकार, शैलेश}

भारत के राज्य ={मध्यप्रदेश , छत्तीसगढ़ }
प्राकृत संख्याएँ ={१,२,३, ४, }

विषम संख्यायें {१,३,५ }

गणित में विशेष कर इन संख्याओं का  इस्तेमाल होता है n प्राकृत संख्याओं का समूह
Z  पूर्णांक संख्याओं का समूह

Q  परिमेय संख्याओं का समूह

Z⁺ धन पूर्णांक सख्याओ का समूह

Q⁺ धन परिमेय संख्याओं का समूह
R⁺ वास्तविक संख्याओं का समूह
इन प्रतीकों का प्रयोग हम निरंतर गणित में करते रहेंगे
परिभाषा -' वस्तुओं या संख्याओं के सुपरिभाषित संग्रह को हम सम्मुचय कहते है ∣
(i ) सम्मुचय में वस्तुएं या अवयव (element )या सदस्य होते है ∣
(ii )सम्मुचय को प्रायः अंग्रेजी वर्ण माला बड़े अक्षरों से निरूपित करते है

A B,C ------ X,Y,Z
(iii ) सम्मुचय को प्रायः अंग्रेजी वर्ण माला छोटे अक्षरों से निरूपित करते है a,b c, x, .......y, z
एक उदाहरण से हम सम्मुचय को लिखना समझते है

a,e,i,o, u = vowel  होते है

ae V, eE V i , i ∉V, oe V, u,e,V

e - Element of /अवयव है/सदस्य है

a,e V ⋙'a सम्मुचय V में है या a  सम्मुचय v  का अवयव है /

a  सम्मुचय v  का सदस्य है

b ∉V⋙b सम्मुचय V  में नहीं है
b  सम्मुचय v  का अवयय  नहीं है
b  सम्मुचय v  का सदस्य नहीं है

सम्मुचय को निरूपित करने की दो विधियां होती है :-
(i ) roaster  (रोस्टर ) या सारणी बद्ध रूप
(ii ) सम्मुचय निर्माण रूप
रोस्टर रूप
उदाहरण द्वारा समझते है
अंग्रेजी वर्ण माला के सभी स्वरों का सम्मुचय { a ,e ,i ,o u }
सम्मुचय निर्माण रूप
V = {x : x  अंग्रेजी वर्ण माला का एक स्वर है }
सभी x  का सम्मुचय जहाँ x  अंग्रेजी वर्णमाला का स्वर है
रोस्टर रूप में{ १२३४}
सम्मुचय निर्माण रूप
o  = {x : x  विषम संख्या है }
how to read  - " सभी x  का सम्मुचय जहाँ x  विषम संख्या है
(i ) school  शब्द को रोस्टर रूप में लिखने के लिए { s,c,h,o,l लिखेंगे  }

O दोबारा नहीं लिखेंगे

(ii ) हमने ऊपर के उदाहरण में x  लिया है इसमें हम English  का कोई alphabet  लिख सकते है
A  {x  : x  एक प्राकृत संख्या और ३ <x  <१० } को निम्न लिखित प्रकार से पढ़ते है
सभी x  का सम्मुचय जहाँ x  एक प्राकृत  x ३ और १०२ के बीच में है
रोस्टर रूप में

{ ४,५,६, ७,८,९ }
पाठ्य पुस्तक पेज नंबर ४ ऐसा कुछ उदाहरण हल किये हुए हैं उन्हें हल करके समझना
हम प्रशनावली १. १ के प्रश्नों  को हल करते हैं

(i ) निम्न लिखित में कौन से सम्मुचय हैं ? अपने उत्तर का औचित्य बताइये :-
(a ) j  अक्षर से प्रारम्भ होने वाले के सभी महीनों का संग्रह 30> या होगा
{ January , June , July  } वर्ष के सभी महीनों का संग्रह एक सुपरिभाषित संग्रह है
(ii ) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह
30 > एक लेखक एक व्यक्ति के लिए अधिक प्रतिभाशाली हो सकता है , जबकि दूसरे व्यक्ति लिए अधिक प्रतिभाशाली नहीं हो सकता है, अतः  हम निश्चित रूप से 10 प्रतिभाशाली लेखकों संग्रह नहीं बता सकते , अतः ये संग्रह सुपरिभाषित नहीं है इसीलिए यह सम्मुचय नहीं है

(iii ) विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लेबाजों का संग्रह
30 > सम्मुचय नहीं है

same  as (ii )

इसी तरह बाकि प्रश्नो को हल करें (II ) मान लीजिये A = { १,२, ३,४, ५, ६, } रिक्त स्थानों की पूर्ति में उपयुक्त E  अथवा ∉ भरिये
(i )५ E  A  (ii ) ८ E A  (iii )o  ∉ A
इसी तरह बाकि प्रश्नों को हल करिये
(III  )निम्न लिखित को रोस्टर रूप में लिखिए
(i ) A = { x  : x  एक पूर्णांक है और -३ <x <७}
30 > A  {३ ,-२ ,- १ ० १, २,३, ४ ,५ ,६,७ }
(ii )  B  = { x : x  संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है
30> B  { १,२, ३, ४, ५, }

v  E  = TRIGONOMETRY  शब्द के सभी अक्षरों का सम्मुचय
E  = { T, R,I,G,O, N, M,E,Y} इन शब्दों का सम्मुचय बनाते समय अक्षरों को repeat  नहीं किया गया है
बाकि के प्रश्नो को स्वयं हल करने की कोशिश करें

 

इसे भी पढ़िए!  बहुपद ( कक्षा 10वीं के हल )

IV निम्न लिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण के रूप में व्यक्त कीजिये
(i ) { ३,६ ,९ ,१२ }
A = { x  <15 ,x  3 का गुणज है } या A  = {x :x  3n ,n ≦4 तथा n ∈ N  दिए गए सम्मुचय के अवयव 2 के घात के रूप में है

2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32

अतः  A = { x:x =2ⁿ, n En और  n ≦ 5
(v ) { 1,4, 9----------100 }

 दिए गए समुच्चय के अवयव प्राकृत संख्या का वर्ग है
1²=1, 2²=4, 3³=9.......... 10²=100
इसी तरह बाकि प्रश्नों को हल करिये

V. निम्नलिखित सभी अवयवों को सूचि बद्ध कीजिये
(i ) A  = {x :x  एक विषम प्राकृत संख्या है }
 A = { 1 , 3 , 5 7 ....... }
(ii ) B = { x :x  एक पूर्णांक है - ½ < x < 9⁄2
B= { 1, 2, 3, 4, }

E= {वर्ष का ऐसा महीना है जिसमे ३१ दिन नहीं होते है }

{ Feb, April, June, Septmeber, November

VI. सही मिलान करें

A                                                                 B

(i) {1,2,3,6}                      (a) { x  : x  एक अभाज्य संख्या है 6        

                                          की भाजक है }(ii)

(ii) {2,3}                            (b) { x  : x  संख्या 10 से कम एक     

                                                  विषम प्राकृत  संख्या है  }(iv)

(iii) { M,A,T,H,E, I,C,S }  (c) { x  : x  एक प्राकृत  संख्या है  

                                                            और 6 की भाजक है }(i)

(iv) { 1,3,5,7,9}                 (d) { x  : x   MATHEMATICS का एक

                                                             अक्षर है  }(iii)

 

 

 

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